(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(U11(tt, L)) → mark(U12(tt, L))
active(U12(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(length(nil)) → mark(0)
active(length(cons(N, L))) → mark(U11(tt, L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X1, X2)) → U12(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X1), X2) → mark(U12(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0) → ok(0)
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X1, X2)) → U12(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X1), ok(X2)) → ok(U12(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Rewrite Strategy: FULL
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
cons(mark(X1), X2) →+ mark(cons(X1, X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [X1 / mark(X1)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, L)) → mark(U12(tt, L))
active(U12(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U11(tt, L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X1, X2)) → U12(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X1), X2) → mark(U12(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X1, X2)) → U12(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X1), ok(X2)) → ok(U12(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, L)) → mark(U12(tt, L))
active(U12(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U11(tt, L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X1, X2)) → U12(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X1), X2) → mark(U12(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X1, X2)) → U12(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X1), ok(X2)) → ok(U12(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active,
cons,
U12,
s,
length,
U11,
proper,
topThey will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
U12 < active
s < active
length < active
U11 < active
active < top
cons < proper
U12 < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
proper < top
(8) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
U12(
tt,
L))
active(
U12(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
tt,
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
U12(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U12(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U12(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
cons, active, U12, s, length, U11, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
U12 < active
s < active
length < active
U11 < active
active < top
cons < proper
U12 < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
proper < top
(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
cons(
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
+(
1,
n5_0)),
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
b)) →
*4_0, rt ∈ Ω(n5
0)
Induction Base:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))
Induction Step:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n5_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(10) Complex Obligation (BEST)
(11) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
U12(
tt,
L))
active(
U12(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
tt,
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
U12(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U12(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U12(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
U12, active, s, length, U11, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
U12 < active
s < active
length < active
U11 < active
active < top
U12 < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
proper < top
(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U12(
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
+(
1,
n914_0)),
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
b)) →
*4_0, rt ∈ Ω(n914
0)
Induction Base:
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))
Induction Step:
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n914_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n914_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(13) Complex Obligation (BEST)
(14) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
U12(
tt,
L))
active(
U12(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
tt,
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
U12(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U12(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U12(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n914_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n9140)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, length, U11, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
length < active
U11 < active
active < top
s < proper
length < proper
U11 < proper
proper < top
(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
s(
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
+(
1,
n2127_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n2127
0)
Induction Base:
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n2127_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2127_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(16) Complex Obligation (BEST)
(17) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
U12(
tt,
L))
active(
U12(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
tt,
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
U12(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U12(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U12(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n914_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n9140)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2127_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21270)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
length, active, U11, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
length < active
U11 < active
active < top
length < proper
U11 < proper
proper < top
(18) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
length(
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
+(
1,
n2787_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n2787
0)
Induction Base:
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n2787_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2787_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(19) Complex Obligation (BEST)
(20) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
U12(
tt,
L))
active(
U12(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
tt,
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
U12(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U12(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U12(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n914_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n9140)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2127_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21270)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2787_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n27870)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
U11, active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
U11 < active
active < top
U11 < proper
proper < top
(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U11(
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
+(
1,
n3548_0)),
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
b)) →
*4_0, rt ∈ Ω(n3548
0)
Induction Base:
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))
Induction Step:
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n3548_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3548_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(22) Complex Obligation (BEST)
(23) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
U12(
tt,
L))
active(
U12(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
tt,
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
U12(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U12(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U12(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n914_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n9140)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2127_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21270)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2787_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n27870)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3548_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n35480)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
proper < top
(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol active.
(25) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
U12(
tt,
L))
active(
U12(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
tt,
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
U12(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U12(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U12(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n914_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n9140)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2127_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21270)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2787_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n27870)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3548_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n35480)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
proper < top
(26) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol proper.
(27) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
U12(
tt,
L))
active(
U12(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
tt,
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
U12(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U12(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U12(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n914_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n9140)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2127_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21270)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2787_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n27870)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3548_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n35480)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
top
(28) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol top.
(29) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
U12(
tt,
L))
active(
U12(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
tt,
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
U12(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U12(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U12(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n914_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n9140)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2127_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21270)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2787_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n27870)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3548_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n35480)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(30) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(31) BOUNDS(n^1, INF)
(32) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
U12(
tt,
L))
active(
U12(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
tt,
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
U12(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U12(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U12(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n914_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n9140)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2127_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21270)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2787_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n27870)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3548_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n35480)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(33) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(34) BOUNDS(n^1, INF)
(35) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
U12(
tt,
L))
active(
U12(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
tt,
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
U12(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U12(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U12(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n914_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n9140)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2127_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21270)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2787_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n27870)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(36) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(37) BOUNDS(n^1, INF)
(38) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
U12(
tt,
L))
active(
U12(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
tt,
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
U12(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U12(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U12(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n914_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n9140)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2127_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21270)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(39) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(40) BOUNDS(n^1, INF)
(41) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
U12(
tt,
L))
active(
U12(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
tt,
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
U12(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U12(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U12(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n914_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n9140)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(42) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(43) BOUNDS(n^1, INF)
(44) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
U11(
tt,
L)) →
mark(
U12(
tt,
L))
active(
U12(
tt,
L)) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
U11(
tt,
L))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
active(
X1),
X2)
active(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
U11(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U11(
X1,
X2))
U12(
mark(
X1),
X2) →
mark(
U12(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
U11(
X1,
X2)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
U11(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U11(
X1,
X2))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
U12(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(45) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(46) BOUNDS(n^1, INF)